PLANO 7 Disciplina: Matemática 9º ano A,B,C e D.

 Roteiro: 7- Operações com polinômios.  Sequência didática: Adaptado ao Período de Pandemia Covid-19.

PLANO 7

Disciplina: Matemática    

9º ano A,B,C e D.           

Unidade temática:

Álgebra

 PROFESSOR : José leite

Desenvolvimento

• Iniciamos a aula informando  que vamos  estudar monômios e polinômios. Apresentaremos  um exemplo de monômio e um de polinômio, e faça a distinção entre um e outro nomeando-os.
  Em seguida, mostre no projetor multimídia o material manipulativo algeplan pois ele auxilia na redução dos termos semelhantes do polinômio de grau menor ou igual a 2, por meio da utilização da área de retângulos que representarão monômios. Exemplo:

• Lista de exercícios de operações com polinômios.

Desenvolvimento

• Os alunos ão utilizar o algeplan confeccionado na aula anterior para reduzir os termos semelhantes dos polinômios. Utilizando o projetor multimídia ou o quadro de giz, mostre aos alunos exemplos de expressões e operações com polinômios. Sugestões:

– Montagem da expressão utilizando as peças: 2x ² + 2y ² + xy + 3x + 5

– Adição de polinômios: para adicionar polinômios, os alunos deverão montar cada expressão e agrupar os monômios semelhantes. Por exemplo: (x ² + 3x) + (x ² + y ² + x) = 2x ² + y ² + 4x

– Subtração de polinômios: para subtrair polinômios, solicite aos alunos que utilizem as peças de cor preta para representar os monômios com coeficientes negativos. Depois, peça que anulem os monômios semelhantes. Lembre-os de fazer a multiplicação de sinais antes de eliminar os parênteses. Por exemplo: 

(x ² + 3x) – (x ² + y ² + x) = –y ² + 2x

– Multiplicação de polinômios: para multiplicar polinômios com as peças do algeplan, os alunos devem dispor um fator na horizontal e outro na vertical, “multiplicando” a seguir peça por peça. Veja o exemplo: para multiplicar 2x por y + 1, dispõem-se duas peças de lado x na horizontal, o que corresponde a 2x, e, na vertical, uma peça de lado y e outra de lado 1, o que corresponde a y + 1. “Multiplicando” a peça de lado y e a peça de lado x, obtemos a peça de área x ∙ y ; “multiplicando” a peça de lado 1 e a peça de lado x, obtemos a peça de áreas 1 ∙ x = x, e podemos relacionar a operação com a área do retângulo de lados
2x e y + 1. Assim: 2x (y + 1) = 2xy + 2x

– Divisão de polinômios: para a divisão, solicite aos alunos que montem um retângulo com as peças da expressão que representam o dividendo, no exemplo y 2 + 2y + 1, com um dos lados desse retângulo representando o divisor, y + 1. Neste exemplo, os alunos deverão separar uma peça de lados y (y ²), outras duas peças de lado y e 1 (2y) e uma peça de lados com 1 unidade, formando com elas um retângulo com um dos lados y + 1. Encaixando as outras peças, espera-se que eles percebam que se formará um quadrado. Assim, o dividendo representa a área de um retângulo e o divisor um de seus lados.

No exemplo: (y ² + 2y +1) : (y +1) = y + 1

Se quiser, consulte: <http://mdmat.mat.ufrgs.br/algeplan/divisao_2.html>; acesso em: 27 ago. 2018.

• Como forma de avaliação, observe a participação e o envolvimento dos alunos durante as atividades.

Atividades

1. Júlia ganhou R$ 85,00 de presente de sua madrinha. Com uma parte do dinheiro, ela comprou 4 tiaras
de x reais cada uma. Escreva uma expressão que represente quanto sobrou do dinheiro de Júlia.

2. Elabore quatro expressões com polinômios e as resolva.

Comentário:

Observe que a primeira parte demonstra as atividades com figuras geométricas e a partir de agora observe com expressões algébricas.

Observação: Não deixe de tentar resolver e publicar as atividades no E-mail: joseleite@prof.educacao.sp.gov.br 

Aula google meet : Ás quintas, das 9:00 as 10:00 h.

Operações com polinômios

A adição, a subtração e a multiplicação de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no Ensino Fundamental.

Quando temos somas ou subtrações basta reduzirmos termos semelhantes, ou seja, operar separadamente potências de mesmo grau.

Nas multiplicações, basta aplicarmos a propriedade distributiva e em seguida reduzirmos os termos semelhantes.

Adição de polinômios

Exemplo:

Subtração de polinômios

Exemplo:

Multiplicação de polinômios

Exemplo: 

Se A(x) e B(x) são polinômios, temos que:

• Se A(x) e B(x) possuem graus diferentes, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) – B(x) é igual ao maior entre os graus de A(x) e B(x).

• Se A(x) e B(x) são de mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou de A(x) – B(x) pode ser menor ou igual ao grau dos polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante pode ser nulo.

• O grau de A(x).B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).

Divisão de polinômios

Vamos pensar em uma divisão de números naturais. Dividir 7 por 5 significa obter o quociente 1 e o resto 2. Podemos escrever:  

Agora vamos pensar na divisão do polinômio A(x) pelo polinômio não-nulo B(x), que gera o quociente Q(x) e o resto R(x).

Nessa divisão:

• A(x) é o dividendo;

• B(x) é o divisor;

• Q(x) é o quociente;

• R(x) é o resto da divisão.

O grau de R(x) deve ser menor que o grau de B(x) ou R(x) = 0.

Quando A(x) é divisível por B(x), dizemos que a divisão é exata, isto é, R(x) = 0.

Exemplo 1

Determine o quociente de :

Resolução

• Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. O resultado será um termo do quociente:

• Multiplicamos x² por B(x) e subtraímos o produto de A(x), obtendo o primeiro resto parcial:

• Dividimos o termo de maior grau do primeiro resto parcial pelo termo de maior grau do divisor, e obteremos como o resultado um termo do quociente:

• Multiplicamos -2x por B(x) e subtraímos o produto do primeiro resto parcial, obtendo o segundo resto parcial:

• Dividimos o termo de maior grau do segundo resto parcial pelo termo de maior grau do divisor, e obteremos como o resultado um termo do quociente:

• Multiplicamos 1 por B(x) e subtraímos o produto do segundo resto parcial:

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, a divisão está encerrada.

Verificamos que:

Exemplo 2

Determine o quociente de :

Resolução

Verificamos facilmente que:

 Nesses dois exemplos, utilizamos o método da chave para efetuar a divisão de polinômios.

Pelos exemplos verificamos que:

grau do quociente = grau do dividendo – grau do divisor

1 - Questões para testar suas habilidades na multiplicação de polinômios.

1. ( x + 2 ) . ( x + 3 )  =

2. ( a – 2 ) .  ( a – 7 )  =

3. ( y + 6 ) . ( y – 6  )  =

4. (2x – 5 ) . ( 3x – 2)  =

5. ( 1 – 2x) . ( 4 + 3x)  =

2 – Mostre que  ( x + y ) . ( x² - xy + y² ) = X³ + y³ .

Plano 6 Matemática 9º ano A, B, C e D

  E.E. Deputado  Derville Allegretti. 

Plano 6 

 Matemática 9º ano A, B, C e D

 

AULA 1

Sistema Decimal (REVISÃO).

Assistir aula CMSP.03/05, 04/05 e  05/05/2021.

 

Características

Contagem: a ideia de número está associada à necessidade de contagem.

Base decimal: contagem agrupada de 10 em 10 números.

Valor posicional: em um número, cada posição tem um significado:

AULA 2

Adição em N

Assistir aula

A operação que associa cada par de números naturais á sua soma é chamada de adição. Indica-se por:

 

AULA 3

Subtração em N

Assistir aula

A operação que associa cada par de números naturais m e  s com à sua diferença d é chamada de subtração. Indica-se por:

 

AULA 4

Multiplicação em N

Assistir aula

A operação que associa cada par de números naturais a e b ao seu produto P é chamada multiplicação. Indica-se por:

 

Propriedade distributiva

MEMORIZAR: Tabuadas

Tabuada do 2:  

Tabuada do 3:

 

 

 

Tabuada do 4:

Tabuada do 5:

Tabuada do 6:

Tabuada do 7:

 

 

Tabuada do 8:

Tabuada do 9:

 

 

 

AULA 5

Divisão em N

Assistir aula CMSP

Definição

A operação que associa cada par de números naturais D = maior natural q, que multiplicado por d não supera D, é chamada de divisão, com resto r. Indica-se por:

Propriedade distributiva

 

Considerações importantes

1. A propriedade distributiva da adição em relação à divisão é válida apenas quando a adição é o  DIVIDENDO e não quando é o  DIVISOR;

2. 0dividido por qualquer número, dá0;

3. Não existe divisão por0, ou seja,o0nunca pode ser divisor.

AULA 6

Potenciação em N

Assistir aula CMSP.

Definição

O númeroaé chamado debasee o númeroné chamado deexpoenteda potência. Lê-se “a elevado a n”.

Casos especiais

Potências de base 0:

0n= 0.0.0.0.0...0= 0
 

Potências de expoente 0:

n0= 1

Potências de base 1:

1n= 1.1.1.1...1 = 1

Potências de expoente 1:

n1 = n

Potências de base 10:

 

Resolva todas as potências abaixo, conforme exercícios 1) na página final.

 

Potências a memorizar

Potências de 2:

• 21= 2

• 22 = 4

• 23 = 8

• 24 = 16

• 25= 32

• 26= 64

• 27 = 128

• 28 = 256

• 29 = 512

• 210 = 1024

 

 

 

Potências de 3:

 

• 31 = 3

• 32 =9

• 33 = 27

• 34= 81

• 35 = 243

• 36 = 729

 

Potências de 4:

• 41 = 4

• 42= 4

• 43 = 64

• 44 = 256

• 45= 1024

 

Potências de 5:

• 51 = 5

• 52= 25

• 53 = 125

• 54 = 625

 

Potências de 6:

• 61 = 6

• 62 = 36

• 63 = 216​

 

Potências de 7:

• 71 = 7

• 72 = 49

• 73 = 343

 

Potências de 8:

• 81 = 8

• 82 = 64

• 83 = 512

 

Potências de 9:

• 91 = 9

• 92 = 81

• 93 = 729

 

 

AULA 7

Radiciação em N

Assistir aula CMSP.

Definição

O número a é chamado de radicando e o número n é chamado de índice da raiz. Lê-se “raiz enésima de a”:

 

Casos especiais

Raízes de radicando 0:

Raízes de radicando 1:

 

Propriedade

Sejam a e b números naturais, então:

 

 

Resolva  as raízes a baixo conforme solicitado no exercício 2) na última página.

Raízes a memorizar

Raízes de índice 2:

 

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• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• ​

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• ​

 

Raízes de índice 3:

 

• 

• 

• 

• 

• 

 

Raízes de índice 4:

 

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• 

• 

• 

• 

Operações com números racionais.

 

 

Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas periódicas. Representamos esse conjunto por meio da letra Q maiúscula:

 

 

Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence ao conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero.

É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos destacar:

 

• Soma de duas ou mais frações:

 

 

Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os expoentes. Veja:

 

Utilizando o MMC para reduzir os denominadores:

1 + 2 + 4 = 1 +  2  +  4    = 3 + 4 + 24 = 31
2    3           2     3      1            6              6

Cálculo do MMC

2, 3, 1| 2
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|

MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6

 

Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte:

6 : 2 = 3 x 1 = 3
6 : 3 = 2 x 2 = 4
6 : 1 = 6 x 4 = 24

 

Utilizando as frações equivalentes:

1 x 3+ 2 x 2+ 4 x 6   =   3 + 4 + 24 = 31
2 x 3   3 x 2   1 x6       6     6    6      6

 

 

 

• Soma de dois ou mais números decimais

 

 

Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo:

2,57 + 1,63 =
2 e 1: partes inteiras
0,5 e 0,6: partes decimais
0,07 e 0,03: partes centesimais

Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição.

   2,57
+ 1,63
   4,20
 

Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo:

 

2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração;
= 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los.
   100    100
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100.
   100
= 4,20

 

 

• Subtração de duas ou mais frações:

 

O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação, que será de menos. Observe:

 

5 – 3 – 2 = 5 +( – 3 ) + ( – 2 )=   20 – 9 – 24   =     – 13
3    4         3     ( 4 )                             12                 12

 

 

Cálculo do MMC:

3, 4, 1| 2
3, 2, 1|2
3, 1, 1|3
1, 1, 1|

 

 

Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:

12 : 3 = 4 x 5 = 20
12 : 4 = 3 x – 3 = – 9
12 : 1 = 12 x – 2 = – 24
 

• Subtração de dois ou mais números decimais:

Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo:

3,15 – 2,04 – 1 =

Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da esquerda para a direita (3,15 – 2,04).

  3,15
- 2,04
  1,11

Agora temos que subtrair 1,11 – 1 =

 1,11
- 1,00
  0,11

 

 

Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe:

3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações.
= 315 – 204 – 1 = → Como os denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos numeradores.
   100    100
= 111 – 1 = → Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo
   100    1        denominador. O MMC (100, 1) é 100.
= 111 – 100 = → Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores.
       100
= 11 = → Faça a divisão de 11/100
  100
= 0,11

 

 

• Multiplicação de frações

 

Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os denominadores com denominadores. Confira:

3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 → Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la.
7    4    ( 7 x 4 )    28

3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9
7    4    ( 7 x 4 )    28 : 2    14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Multiplicação de números decimais

 

Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo:

2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.

   2,4
x 1,2
+ 48
   24
    2,88 → Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 6. Isso aconteceu porque o número 2,4 possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total, duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas da direita para a esquerda (2,88).

Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações.

 

2,4 x 1,2 = → Transforme os números decimais em frações.
= 24 x 12 = → Multiplique os numeradores (24 x 12) e os denominadores (10 x 10).
   10    10
= 288 = → Faça a divisão de 288 por 100.
   100
= 2,88

 

• Divisão de duas ou mais frações

 

Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja:

13 : 9 = 13 x 2 = 26
 7    2     7     9    63

1 : 4 : 2 = (1 : 4 ) : 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15
2    5  6     ( 2 5 )   6    ( 2 x 4 )   6    8   6     8 x 2    16 : 2    8

 

 

 

• Divisão de dois ou mais números decimais
   

Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo:

1,23 : 0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal. Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim, temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100.

 

(1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 → Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50.
 123 |50
- 100 2,46
  230
- 200
  300
- 300
    0

1,23 : 0,5 = 2,46

 

Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em frações:

1,23 : 0,5 = → Transforme os números decimais em frações.
= 123 : 5 = → Aplicando a regra aprendida anteriormente, conserve a primeira fração e
   100  10        multiplique-a pelo inverso da segunda.
= 123 x 10 = → Faça o produto dos numeradores e dos denominadores.
   100     5
= 1230 = → Realize a divisão de 1230 por 500.
    500
= 2,46

 

 

• Soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas

 

 

A dízima periódica é um número decimal em que os algarismos após a vírgula repetem-se infinitamente. Exemplos: 1,222..., 1,2323..., 2,23562356...

A repetição desses algarismos após a vírgula é chamada de período. Veja:

• O período de 1,222... é 2.

• O período de 1,2323... é 23.

• O período de 2,23562356... é 2356.

 

 

Para realizar a soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas, devemos descobrir o período e aplicar as definições aprendidas anteriormente para números decimais, haja vista que a dízima periódica é um número decimal. Vejamos alguns exemplos:

 

 

 

 

 

 

• Soma de dízima periódica

 

2,333... + 1,555... =

O período de 2,333... é 3, e o período de 1,555... é 5. Realizando a soma, temos:
  2,3
+1,5
  3,8
 

 

• Subtração de dízima periódica

 

3,6565... - 1,222... =

O período de 3,6565... é 65, e o período de 1,222... é 2. Fazendo o algoritmo da subtração, temos:

  3,65
- 1,22
  2,43

 

• Multiplicação de dízima periódica

 

5,2323... x 1,111... =

O período de 5,2323... é 23, e o período de 1,111... é 1. Efetuando o produto, temos:

   5,23
x 1,11
   523
+ 523
   523
   5,8053

 

A multiplicação resultou em: 5,2323... x 1,111... = 5,23 x 1,11 = 5,8053

 

• Divisão de dízima periódica

 

2,5252 … : 0,555... =

O período de 2,5252... é 52, e o período de 0,555... é 5. Realizando a divisão, temos:

2,52 : 0,5 = (2,52 x 100) : ( 0,5 x 100) = 252 : 50
 

  252 | 50
- 250 5,04
  200
- 200
    0

A divisão de: 2,5252 … : 0,555... = 2,52 : 0,5 = 5,04

Atividades propostas para publicação via whatsapp ou e-mail.

Exercícios:

1. Calcule:

1. 7²  = 7 . 7 = 49

                

2. 4²  =  4 . 4 = 16, calcule  como foi solucionado  aqui todos os exemplos informados nas páginas anteriores. Potências a memorizar...

 

2. Calcule as raízes também, como no exemplo  anterior:

1. √4 = 2² = 2 . 2 = 4

2. √9 = 3² = 3 . 3 = 9 ... idem para todas as raízes das páginas anteriores.