Escola Estadual Deputado Derville Allegretti
Plano nº 5
adaptado para período de pandemia covid-19
Professor: José Leite
Disciplina: Matemática
Ano: 9A, B, C e D
Matemática: Geometria – Teorema de Pitágoras e Tales.
Componente curricular: Matemática Ano: 9º Bimestre: 1º
Unidade temática
Geometria
Objetivos de aprendizagem
Utilizar um software de Geometria dinâmica para verificar as posições relativas de circunferências.
Verificar a relação entre o ângulo central e o ângulo inscrito em uma circunferência.
Resolver e elaborar problemas envolvendo relações entre arcos, ângulos centrais, ângulos inscritos na circunferência e posições relativas de circunferências.
Aula 1
Círculo e circunferências: conhecendo suas partes
Circunferência
Circunferência é uma figura geométrica com formato circular que faz parte dos estudos de geometria analítica. Note que todos os pontos de uma circunferência são equidistantes de seu raio (r).
Raio e Diâmetro da Circunferência
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da figura a qualquer ponto localizado em sua extremidade.
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo centro da figura, dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro equivale duas vezes o raio (2r).
Área da Circunferência
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da circunferência, a fórmula da área é:
.
Perímetro da Circunferência
O perímetro de uma figura plana corresponde a soma de todos os lados dessa uma figura.
No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, sendo representado pela expressão:
Comprimento da Circunferência
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento.
Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do perímetro:
C = 2 π . r
Donde,
C: comprimento
π: constante Pi (3,14)
r: raio
Circunferência e Círculo
Muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença.
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua área interna.
Saiba mais sobre o círculo com a leitura dos artigos:
1.Calcule a área de uma circunferência que tem raio de 6 metros. Considere π = 3,14
2. Qual o perímetro de uma circunferência cujo raio mede 10 metros? Considere π = 3,14
3. Se uma circunferência possui um raio de 3,5 metros, qual será seu diâmetro?
a) 5 metros
b) 6 metros
c) 7 metros
d) 8 metros
e) 9 metros
4. Qual o valor do raio de uma circunferência cuja área equivale a 379,94 m2? Considere π = 3,14
5. Determine o comprimento de uma circunferência quando:
O raio mede 2 cm.
O raio mede 2,5 cm.
O diâmetro mede 8 cm.
Ângulos na circunferência: central e inscrito, arco e corda
Para orientá-los, construa com eles o modelo abaixo e, a partir dele, trabalhe ângulo central, o ângulo inscrito correspondente, arco e corda.
Resolvendo e elaborando problemas
Para mobilizá-los, questione: “Como podemos iniciar a resolução do problema?”; “Quais informações podemos obter ao observar a figura?”; “Quais estratégias de resolução podemos utilizar?”. Aproveite a ilustração para retomar as partes da circunferência e do círculo. Espera-se que os alunos respondam que:
Quebra de Página
Organize os alunos em grupos de quatro e proponha os problemas. Peça que os resolvam na folha pautada, se possível. Caso queira, utilize os exemplos abaixo:
Problema 1: Dada a figura abaixo, calcule o valor de b, sabendo que o arco 
mede 140°.
Problema 2: Em uma circunferência, foi destacado um arco. Sabendo que o ângulo inscrito nessa circunferência mede 62°, calcule a medida do arco 
.
Problema 3: Observe a figura abaixo. Analise a posição relativa das duas circunferências e calcule as medidas dos raios e a distância entre seus centros.
Problema 4: Utilizando instrumentos de desenho e malha quadriculada, construa duas circunferências, uma com 3 cm de raio e outra com 5 cm de raio. A distância entre os centros das circunferências deve ser
7 cm. Qual é a posição relativa das duas circunferências?
Respostas: problema 1, β = 70°; problema 2, a medida do arco
é 124°; problema 3, r = 1, R = 2 e a distância entre os dois centros é 6; problema 4, as circunferências são secantes. Circule pela sala e observe como os alunos estão resolvendo os problemas. Caso seja necessário,
faça intervenções. Socialize os problemas no quadro de giz propondo a análise das soluções pelos grupos.Como forma de avaliação, observe a participação e o envolvimento dos alunos durante as atividades.
Atividades
Uma circunferência tem 31,40 cm de comprimento. Quanto mede seu raio?
Uma circunferência tem 18,84 cm de comprimento. Quanto mede seu diâmetro?
Quantas voltas dá uma roda de 30 cm de raio para percorrer 7536 m?
Quebra de Página
Geometria
Objetivos de aprendizagem
Aplicar o conceito de proporção para compreender o teorema de Tales.
Resolver e elaborar problemas aplicando as relações de proporcionalidade e o teorema de Tales.
Construir o retângulo de ouro.
Teorema de Tales
Pelo Teorema de Tales: Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais.
Teorema de Tales
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na Geometria e expressa pelo enunciado:
"A intersecção de um feixe de retas paralelas por duas retas transversais forma segmentos proporcionais."
Fórmula do teorema de Tales
Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.
Exemplo: determine a medida de x indicada na imagem.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
3 sobre 9 igual a 2 sobre reto x 3. reto x espaço igual a espaço 9.2 3 reto x espaço igual a espaço 18 reto x igual a espaço 18 sobre 3 reto x espaço igual a espaço 6
Responda : 3/9 = 2/x → 3.x = 9.2 → 3.x = 18 → x = 18/3 → x = 6 ,
Teorema de Tales nos triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:
Δ ABC ~ Δ AED
Exemplo: determine a medida x indicada na imagem.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
.
Como foi descoberto o teorema de Tales?
O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.
Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias.
Saiba mais lendo sobre razão e proporção.
Exercícios sobre o Teorema de Tales
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
Questão 1
Questão 2
Questão 3
Resolvendo problemas
Desenvolvimento
O teorema de Tales:
Problema 1: Um coqueiro projeta no solo uma sombra de 12 m. No mesmo instante, uma pessoa que mede 1,75 m de altura está em pé e projeta uma sombra de 3 m. Qual é a altura do coqueiro?
Problema 2: Dois terrenos têm frentes para a rua Jasmim e para a rua Mimo, como mostra a figura. Considerando que as divisas laterais são paralelas, calcule a medida x da frente de um dos terrenos para a
rua Mimo.
Problema 3: Na figura abaixo, estão representados três terrenos A, B e C.
Quantos metros de comprimento deve ter um muro que o proprietário do terreno A vai construir, sabendo que ele vai fechar o limite do terreno A com B, a frente para a rua 2 e a frente para a rua 3?
Problema 4: No triângulo abaixo,
Respostas: problema 1, a altura do coqueiro é 7 m; problema 2, a medida x da frente do terreno
tem 45 m; problema 3, o muro deve ter 74 m; problema 4, x = 8.Solicite aos alunos que leiam os problemas e discutam entre eles como farão para resolvê-los. Nesse momento, eles mobilizarão conceitos matemáticos conhecidos e desenvolverão as estratégias de resolução.
Durante a resolução, passe pelos grupos, auxiliando-os. Cada grupo deve registrar as soluções dos problemas no cartaz para depois socializá-las. Quando terminarem, peça que afixem o cartaz no quadro de giz e discutam as estratégias de resolução. Essa atividade favorece o desenvolvimento, conforme a BNCC, da seguinte competência específica de Matemática: “Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.”.
Como forma de avaliação, observe a participação, o registro do cartaz e o envolvimento dos alunos durante a socialização e a discussão sobre as estratégias de resolução dos problemas.
Atividades
1. Explique como você faria para calcular a altura de uma árvore sem utilizar uma trena.
2. Observe a figura e determine o valor de x.
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